7.6 残差网络（ResNet）

1. 深度神经网络与函数类

当网络越来越深的时候，我们要思考的一个问题是，越深的网络真的越有效吗？

答案是否定的，训练神经网络可以看做在一个泛函空间中寻找最合适的函数 $f^{\ast }$，使得与真实函数之间的“距离”最近：
对于非嵌套函数类，较复杂（由较大区域表示）的函数类不能保证更接近“真”函数，而嵌套函数不会出现这种情况

考虑一个简单的两层全连接神经网络：

假设激活函数 ${\sigma }_2$ 是一个线性函数，那么第二层神经元就具有拟合原输入 $y_1$ 的能力，属于上图的嵌套函数类（上图右），但激活函数 ${\sigma }_2$ 不可能是一个线性函数，所以拟合原输入 $y_1$ 的能力会降低，会偏离原来 $y_1$ 本身（上图左）

所以我们设计网络结构时，下一层是上一层的嵌套函数类，这样增加网络层数使得训练是有效的

2. 残差块

一种思想是在恒等映射的基础上加上原来的神经网络，使得函数具备这种嵌套能力

这样第二层神经元就具有拟合原输入 $y_1$ 的能力，也就是说我们在结构中并联一个：
一个正常块（左图）和一个残差块（右图）

ResNet 块利用 7.2 使用块的网络（VGG）的设计，加入了 7.5. 批量规范化，有时直接并联需要利用 $1\times 1$ 卷积调整一下通道数，使得能够做 element-wise 相加：
利用 $1\times 1$ 卷积调整通道数

也可以调整并联位置来设计不同的残差块

具体实现：

import torch
from torch import nn
from torch.nn import functional as F
from d2l import torch as d2l


class Residual(nn.Module):  #@save
    def __init__(self, input_channels, num_channels,
                 use_1x1conv=False, strides=1): # 如果input_channels == num_channels，use_1x1conv=False
        super().__init__()
        self.conv1 = nn.Conv2d(input_channels, num_channels,
                               kernel_size=3, padding=1, stride=strides) # 第一个 3x3 卷积调整通道
        self.conv2 = nn.Conv2d(num_channels, num_channels,
                               kernel_size=3, padding=1) # 第二个 3x3 卷积不改变通道数
        if use_1x1conv:
            self.conv3 = nn.Conv2d(input_channels, num_channels,
                                   kernel_size=1, stride=strides)
        else:
            self.conv3 = None
        self.bn1 = nn.BatchNorm2d(num_channels)
        self.bn2 = nn.BatchNorm2d(num_channels)

    def forward(self, X):
        Y = F.relu(self.bn1(self.conv1(X)))
        Y = self.bn2(self.conv2(Y))
        if self.conv3:
            X = self.conv3(X)
        Y += X
        return F.relu(Y)

blk = Residual(3,6,use_1x1conv=True,strides=2) # 批大小 4，输入通道 3，输出通道 30，图像大小减半
X = torch.rand(4, 3, 6, 6)
Y = blk(X)
Y.shape # torch.Size([4, 6, 3, 3])

3. ResNet 模型

3.1 ResNet 块

残差块的组合称为 ResNet 块
ResNet 块结构

• 第一个残差块图像大小减半，通道数翻倍
• 第二个残差块不改变图像大小、通道数

def resnet_block(input_channels, num_channels, num_residuals,
                 first_block=False):
    blk = []
    for i in range(num_residuals):
        if i == 0 and not first_block: # 第一个残差块是不改变通道数的，下图 b2
            blk.append(Residual(input_channels, num_channels,
                                use_1x1conv=True, strides=2))
        else:
            blk.append(Residual(num_channels, num_channels))
    return blk

3.2 ResNet-18 架构

ResNet-18 架构，除了第一个之外，每个框表示 ResNet 块（输入是 224*224，通道数为 1 的 fashion_mnist 数据）

b2-5 每个都有 4 个卷积，加上 b1 的两个，一共是 18 个，所以叫做 ResNet-18

b1 = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 64, kernel_size=7, stride=2, padding=3),
                   nn.BatchNorm2d(64), nn.ReLU(),
                   nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1))
b2 = nn.Sequential(*resnet_block(64, 64, 2, first_block=True))
b3 = nn.Sequential(*resnet_block(64, 128, 2))
b4 = nn.Sequential(*resnet_block(128, 256, 2))
b5 = nn.Sequential(*resnet_block(256, 512, 2))

net = nn.Sequential(b1, b2, b3, b4, b5,
                    nn.AdaptiveAvgPool2d((1,1)),
                    nn.Flatten(), nn.Linear(512, 10)) # 10 表示数据集的 10 个类别

这里的 * 是解包 Python中的与**用法#^67ec1f

X = torch.rand(size=(1, 1, 224, 224))
for layer in net:
    X = layer(X)
    print(layer.__class__.__name__,'output shape:\t', X.shape)

Sequential output shape:     torch.Size([1, 64, 56, 56])
Sequential output shape:     torch.Size([1, 64, 56, 56])
Sequential output shape:     torch.Size([1, 128, 28, 28])
Sequential output shape:     torch.Size([1, 256, 14, 14])
Sequential output shape:     torch.Size([1, 512, 7, 7])
AdaptiveAvgPool2d output shape:      torch.Size([1, 512, 1, 1])
Flatten output shape:        torch.Size([1, 512])
Linear output shape:         torch.Size([1, 10])

lr, num_epochs, batch_size = 0.05, 10, 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=96)
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())

loss 0.012, train acc 0.997, test acc 0.893
5032.7 examples/sec on cuda:0

ResNet-18 在 ashion_mnist 的结果，快达到过拟合了

4. ResNet 为什么可以训练出 1000 层网络

假设这里的 $y$ 的是减过 loss 的，两层神经网络的反向传播
如上图，假如我有两层神经网络，计算第一层的梯度是第二层累乘过来的，一般来说，随着训练进行，损失函数越小，第二层的梯度会很小（一个全连接层+一个凸的 loss 是一个凸函数），由于乘法计算，传播到第一层的梯度就会很小，导致靠近输入端的参数难以训练

ResNet 把乘法变成加法，使得靠近底层的参数梯度不会太小

最底层的梯度可以直接从旁边的链路传播过来

参考文献